自动控制系统的设计--基于根轨迹的串联校正设计

而对于△PcOSd有：

(6-31)

由上二式消去sinθ，并由式（6－29）可得：

(6-32)

根据三角函数性质，上式可写成如下形式：

(6-33)

进而有：

(6-34)

由于k可由稳态误差系数确定，u由未校正传递函数求出，因此根据上式求出角γ。最后可用式（6－22）和式（6－23）确定校正装置的零极点和具体参数。

通过上述分析可知，对于超前校正装置的参数确定，可用三种方法进行设计，其中第一法是工程经验方法，第二法则是从抑制高频噪声角度出发进行设计，第三法则先在满足静态性能指标的条件下设计满足动态性能指标的控制器。但必须指出，上述三法均用于对静态性能要求不高而系统的动态性能需要改善的控制系统，校正后的系统应满足根轨迹的相角条件和幅值条件。若系统的静态性能指标较高，可能无法设计合适的超前校正装置，此时应采用迟后－超前校正装置。

（三）根轨迹超前校正的步骤
综上所述，用根据轨迹法进行超前校正的一般步骤为：

１）根据对系统静态性能指标和动态性能指标的要求，分析确定希望的开环增益k闭环主导极点Sd的位置．

２）画出校正前系统的根轨迹，判断希望的主导极点位于原系统的根轨迹左侧，以确定是否应加超前校正装置。

３）根据式（６—21）解出超前校正网络在Sd点处应提供的相位超前角φ。

４）选择前面介绍的三种方法之一，求γ，尔后用图解法或根据式（６—22）和式（６—23）求得Gc(s)的零点和极点，进而求出校正装置的参数。

５）画出校正后系统的根轨迹，校核闭环主导极点是否符合设计要求。

６）若采用第一法和第二法，则还须根据根轨迹的幅值条件，确定校正后系统工作在 处的增益和静态误差系数。如果所求的静态误差系数与要求的值相差不大，则可通过适当调整Gc(s)零点和极点的位置来解决；如果所求的静态误差系数比要求的值小得多，则需考虑用别的校正方法，如用迟后—超前校正。

下面举例分别介绍上述三法的使用，进而对根轨迹超前校正步骤进行说明。

例6－5 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为：

试设计一超前校正装置，使校正后系统的无阻尼自然频率 ，阻尼比 。

解：（１）这是一个积分环节和惯性环节串联的系统，系统的无阻尼自然频率 ，阻尼比 ，闭环极点为 以及静态速度误差系数 ，校正前系统的根轨迹如图６—20虚线所示。

（２）由 和 ，求得希望的闭环极点为:

。

（３）计算超前校正装置在 处需提供的相位超前角。由于未校正系统的 在 处的相角为：

为了使校正后系统的概轨迹能通过希望的极点，超前校正装置必须在该点产生的超前角。

（4）根据根轨迹的相角条件，确定超前校正装置的零点和极点。因为 ， ，所以 。按照最大α值的设计方法，可计算或作图求出 ， 。这一校正装置的传递函数 。于是求得由校正网络和附加放大器组成的超前校正装置的传递函数，并得到校正后系统的开环传递函

数

式中，。由上式作出校正后系统的根轨迹，如图6—20中的实线所示。

（5）确定系统工作在希望闭环极点处的增益和静态速度误差系数。由根轨迹的幅值条件

解得 。由于 ，因而 。系统对应的开环传递函数为

由上式求得校正后系统